Параметры, определяющие состояние вещества. Идеальный газ. Вывод основного уравнения кинетической теории газов. Вывод основных газовых законов. Уравнение состояния идеальных газов.

Идеальным газом называется газ, молекулы которого не взаимодействуют друг с другом на расстоянии и имеют исчезающе малые собственные размеры. Состояние заданной массы m идеального газа определяется значениями трёх параметров: давления P , объёма V , и температуры Т .

Уравнение состояния идеального газа или уравнение Менделеева - Клапейрона является обобщением законов идеального газа, открытых экспериментально до создания МКТ. Однако, из основного уравнения МКТ (2.3), можно получить уравнение состояния идеального газа. Для этого подставим вместо средней кинетической энергии поступательного движения молекулы в основное уравнение МКТ идеальных газов правую часть равенства (2.4), получим уравнение, в которое не входят микропараметры газа (2.5). Так как , следовательно, или . Учитывая, что , получим N=N A , а так как N A × k = R = 8,3 - молярная газовая постоянная или универсальная газовая постоянная , то получим уравнение Менделеева (2.6). Уравнение состояния газа часто удобно использовать в записи, предложенной Клапейроном , если количество вещества не изменяется или (2.7). Уравнение (2.7) часто называют обобщённым газовым законом . Тот факт, что из основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа можно вывести уравнение состояния идеального газа, подтверждает верность молекулярно-кинетической теории вещества.

Основное уравнение молекулярно – кинетической теории газов. Возьмем сосуд с газом и определим давление P газа на стенки сосуда. Для простоты рассмотрения выберем этот сосуд в форме куба с ребром l и расположим его в декартовой системе координат, как показано на рисунке. Пусть в сосуде имеется всего N молекул. Предположим, что:

1)Вдоль оси х движется одна треть всех молекул, т.е. ;

2)Удар молекул о стенку Q идеально упругий и молекулы проходят расстояние, равное размеру куба, не испытывая соударений.

Импульс силы, полученный стенкой при ударе молекулы, определим из второго закона Ньютона. . где - изменение импульса молекулы, m – масса молекулы. Поскольку масса стенки намного больше массы молекулы, то и или по модулю , где использовано обозначение . Таким образом, одна молекула одна молекула за время Dt передает стенке импульс силы , а за время сек передаёт стенке импульс силы равный , где k – число ударов молекул за 1 сек. Так как - промежуток времени между двумя последовательными ударами,. то , тогда . Теперь подсчитаем суммарный импульс силы, который передают стенке N 1 молекул, движущихся вдоль оси x , за 1 сек , где скобки < > обозначают среднее значение выражения, стоящего в скобках. Если извлечь корень квадратный из < V 2 >, получим среднюю квадратичную скорость молекул, которую будем обозначать <V кв > - средняя квадратичная скорость молекул газа. Давление, оказываемое газом на грань куба, равно: , где n – концентрация молекул. Запишем это выражение в виде , чтобы подчеркнуть, что в левую часть этого выражения входит средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы . Тогда - основное уравнение молекулярно-кинетической теории (уравнение Клаузиуса) С учетом уравнения состояния идеального газа: получаем выражение для средней кинетической энергии поступательного движения молекул: - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул. Мы видим, что величина kT есть мера энергии теплового движения молекул.

Газовые законы установлены в 17 веке экспериментально. Однако, их можно получить, используя уравнение Менделеева - Клапейрона.

Закон Бойля-Мариотта. Для данногоколичества вещества рассмотрим изотермический процесс , то есть процесс, протекающий без изменения температуры (Т= const). Используя уравнение (2.6) или (2.7), получим уравнение изотермы, выраженное через давление и объём газа: (2.7). или (2.7’). Для данного количества вещества при изотермическом процессе произведение давления на объём есть величина постоянная. Для построения диаграммы Р(V) выразим давление через объем . Зависимость между давлением и объёмом – обратно пропорциональная, графически представлена гиперболой на рис.2.3 а . Температурные зависимости давления и объёма представлены на рис.2.3 б и в , соответственно.

Закон Гей-Люссака. изобарический процесс , то есть процесс, протекающий без изменения давления

(Р = const). Используя уравнение (2.6) или (2.7), получим уравнениеизобары, выраженное через температуру и объём: ,(2.8). через параметры начального и конечного состояния или . Для данного количества вещества при изобарическом процессе отношение объёма к температуре (или наоборот) есть постоянная величина. Изобарический закон можно записать и в виде: . Здесь V 0 - объём газа при t=0 0 C, t- температура в 0 С, a - термический коэффициент объемного расширения; . Для идеального газа , , но , тогда - термический коэффициент объёмного расширения идеального газа равен величине, обратной температуры. Изображение этого процесса приведено на рис. 2.4. Закон Шарля. Для данного количества вещества рассмотрим изохорический процесс , то есть процесс, протекающий без изменения объёма (V = const). Используя уравнение (2.6) или (2.7), получим уравнениеизохоры, выраженное через температуру и давление газа: , (2.9) через параметры начального и конечного состояния или . Для данного количества вещества при изохорическом процессе отношение давления к температуре (или наоборот) есть величина постоянная.

Изображение этого процесса приведено на рис. 2.5.

Закон Авогадро При одинаковых давлениях (Р) и температурах (Т) в равных объемах (V) любого газа содержится одинаковое число молекул. , следовательно, N 1 = N 2

Закон Дальтона (для смеси газов) Давление смеси газов равно сумме парциальных давлений Р см =Р 1 +Р 2 +... +Р К (2.10). Этот закон можно также получить, используя уравнение состояния идеального газа. , - парциальное давление - давление, которое оказывал бы данный компонент газа, если бы он один занимал весь объем, предоставленный смеси.

R - Численно равна работе расширения одного моля идеального газа в изобарном процессе при увеличении температуры на 1 К.=8,31дж/(моль*К)

Сфера. , , число ударов о стенку за 1 с следовательно сумма всех импульсов сообщенных одной молекулой за 1 с равняется а у нас таких молекул т.е. сумма импульсов сообщенных стенке всеми молеклами за 1 с сила с которой все молекулы давят на стенку. , среднеквадратичная скорость одной молекул

, – средняя кинетическая энергия одной молекулы. : - постоянная Больцмана

28. Распределение скоростей молекул по Максвеллу. Наивероятнейшая скорость.Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движени При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории молекулам за­давали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и на­правлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления дви­жения являются равновероятными, т. е. в любом направлении в среднем дви­жется одинаковое число молекул. По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой m 0 в газе, на­ходящемся в состоянии равновесия при Т = const, остается постоянной и равной =Ö3kT/m 0 . Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, ко­торое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон теоре­тически выведен Дж. Максвеллом.При выводе закона распределения мо­лекул по скоростям Максвелл предпола­гал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находя­щихся в состоянии беспорядочного тепло­вого движения при одинаковой температу­ре. Предполагалось также, что силовые поля на газ не действуют.Закон Максвелла описывается некото­рой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Ес­ли разбить диапазон скоростей молекул намалые интервалы, равные dv, то на каж­дый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) определяет относительное число молекул dN (v)/N, v до v+dv, т. е.откуда f(v)=dN(v)/Ndv Применяя методы теории вероятно­стей, Максвелл нашел функцию f(v) - закон для распределения молекул идеаль­ного газа по скоростям: Из (44.1) видно, что конкретный вид фун­кции зависит от рода газа (от массы моле­кулы) и от параметра состояния (от тем­пературы Т). График функции (44.1) приведен на рис. 65. Так как при возрастании v множитель уменьшается быстрее, чем растет множитель v 2 , то функция f(v), начинаясь от нуля, достигает максимума при v в и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относи­тельно v в. Относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, находится как площадь бо­лее светлой полоски на рис. 65. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это озна­чает, что функция f(v) удовлетворяет усло­вию нормировки Скорость, при которой функция рас­пределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наи­более вероятной скоростью. Значение наи­более вероятной скорости ожно найти продифференцировав выражение (44.1) (постоянные множители опускаем) по ар­гументу v, приравняв результат нулю и ис­пользуя условие для максимума выраже­ния f(v): Значения v= 0и v=¥ соответствуют минимумам выражения (44.1), а значе­ние v, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость v в: Из формулы (44.2) следует, что при повышении температуры максимум функ­ции распределения молекул по скоростям (рис. 66) сместится вправо (значение наи­более вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распреде­ления молекул по скоростям будет растя­гиваться и понижаться. Средняя скорость молекулы (средняя арифметическая скорость)

29. Число степеней свободы. Закон Больцмана. Внутренняя энергия газа. Важной характеристикой термодинамиче­ской системы является ее внутренняя энергия U - энергия хаотического (тепло­вого) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц. Из этого определения следует, что к внутрен­ней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях. Внутренняя энергия - однозначная функция термодинамического состояния системы, т. е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией (она не зависит от того, как система пришла в данное состояние). Это означает, что при переходе системы из одного состояния в другое изменение внут­ренней энергии определяется только раз­ностью значений внутренней энергии этих состояний и не зависит от пути перехода. В § 1 было введено понятие числа степеней свободы - числа независимых переменных (координат), полностью опре­деляющих положение системы в простран­стве. В ряде задач молекулу одноатомного газа (рис. 77, а) рассматривают как мате­риальную точку, которой приписывают три степени свободы поступательного движе­ния. При этом энергию вращательного движения можно не учитывать (r->0, J= mr 2 ®0, T вр =Jw 2 /2®0). В классической механике молекула двухатомного газа в первом приближении рассматривается как совокупность двух материальных точек, жестко связанных недеформируемой связью (рис. 77,б). Эта система кроме трех степеней свободы по­ступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движе­ния. Вращение вокруг третьей оси (оси, проходящей через оба атома) лишено смысла. Таким образом, двухатомный газ обладает пятью степенями свободы (i=5). Трехатомная (рис. 77,0) и многоатомная нелинейные молекулы имеют шесть степе­ней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно, что жесткой связи между атомами не существует. По­этому для реальных молекул необходимо учитывать также степени свободы колеба­тельного движения. Независимо от общего числа степеней свободы молекул три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из по­ступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, поэтому на каждую из них приходится в среднем оди­наковая энергия, равная 1 / 3 значения В классической статистической физике выводится закон Больцмана о равномер­ном распределении энергии по степеням свободы молекул : для статистической системы, находящейся в состоянии термо­динамического равновесия, на каждую по­ступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетиче­ская энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы - в сред­нем энергия, равная kT. Колебательная степень «обладает» вдвое большей энер­гией потому, что на нее приходится не только кинетическая энергия (как в слу­чае поступательного и вращательного дви­жений), но и потенциальная, причем сред­ние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Таким образом, средняя энергия молекулы где i - сумма числа поступатель­ных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: i =i пост +i вращ +2i колеб. В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атома­ми; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы. Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия молекул равна ну­лю (молекулы между собой не взаимодей­ствуют), то внутренняя энергия, отнесен­ная к одному молю газа, будет равна сумме кинетических энергий N A молекул: Внутренняя энергия для произвольной массы т газа где М - молярная масса, v - количе­ство вещества.

Это несуществующая физическая модель газа, который состоит из большого числа молекул, размеры которых ничтожно малы по сравнению со средними расстояниями между ними. Молекулы такого газа можно считать материальными точками , это означает, что их вращательное и колебательное движения не принимаются во внимание. Движение молекул происходит без столкновений с другими молекулами, подчиняется законам Ньютона . Соударения молекул со стенками сосуда являются абсолютно упругими .

Параметры состояния газа

Давление, температура и объем - параметры состояния газа . Или их называют макропараметрами. Температура - внешняя характеристика скоростей частиц газа. Давление - внешняя характеристика соударений со стенками, например, сосуда. Объем - место, куда заключены частицы газа. Газ занимает весь предоставленный ему объем. Существуют еще внешние параметры, например тела или поля, действующие на газ из вне.

Микропараметры (маленькие, внутренние характеристики) газа - это параметры, которые мы не можем оценить без специальных экспериментов, например, скорость и направление движения каждой молекулы газа.

Состояние термодинамической системы, когда все ее параметры при неизменных внешних условиях не изменяются со временем, называют равновесным.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Уравнение связывает микропараметры и макропараметры (давление, объем и температуру) идеального газа.

Рассмотрим идеальный газ, который находится в кубическом сосуде. Каждая молекула упруго сталкивается со стенкой сосуда, при этом изменятся ее импульс. Столкновение всех молекул со стенкой на макроуровне ощущается как давление газа на сосуд. В формулах будут присутствовать средние значения, потому что какая-то молекула движется быстрее, какая-то помедленнее, для того, чтобы оценить примерную скорость, будем брать средние значения.

Основное уравнение мкт имеет вид

Средний квадрат скорости молекул

Средняя квадратичная скорость v кв молекул это квадратный корень из среднего квадрата скорости

Средняя кинетическая энергия молекул

Можно вывести формулы

Температура

Это макропараметр, который характеризует способность тел к теплопередаче. Если два тела разной температуры контактируют, то произойдет переход энергии или передача теплоты от более горячего к холодному. Установится тепловое равновесие , все части будут одинаковой температуры.

Примеры решения задач. 1.3.1. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа 450 м/с

1.3.1. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа 450 м/с. Давление газа 50 кПа. Найти плотность газа при этих условиях.

Решение. Средняя квадратичная скорость молекул газа связана с его температурой соотношением

где R – универсальная газовая постоянная;

m – молекулярная масса газа;

T – абсолютная температура газа.

Для определения температуры газа воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона

где r=m/V – плотность газа.

Следовательно

.

Подставляя численные значения имеем

1.3.2. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул воздуха s=0,3 нм.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул газа

,

где – средняя арифметическая скорость молекул;

– среднее число столкновений каждой молекулы с остальными молекулами в единицу времени;

s – эффективный диаметр молекулы;

n – число молекул в единице объема (концентрация молекул). Для определения числа молекул в единице объема воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории для давления

где k – постоянная Больцмана;

Т – температура газа.

Тогда для средней длины свободногопробегаимеем

.

Подставляячисленные значения, окончательно получаем:

м.

1.3.3. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул углекислого газа при температуре 100 o С, если средняя длина свободного пробега =870 мкм.

Решение. Число столкновений молекул газа в единицу времени связаносо средней длиной свободного пробега соотношением

,

где – средняя арифметическая скорость.

Следовательно,

Подставляячисленные значения имеем

1.3.4. При некотором давлении и температуре 0 o С средняя длина свободного пробега молекул кислорода 95 нм. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул кислорода, если давление кислорода уменьшить в 100 раз.

Решение. Среднее число столкновений в единицу времени

,

где =(8RT/pm) 1/2 – средняя арифметическая скорость молекул газа;

– средняя длина свободного пробега молекул.

При изменении давления газа длины свободного пробега обратно пропорциональныдавлению:

,

где l 1 , l 2 – длина свободного пробега молекул газа при соответствующих давлениях p 1 и p 2 .

В нашем случае:

Подставляя численные значения для , имеем

1.3.5. Какая часть молекул кислорода при t=0 o С обладает скоростями от 100 до 110 м/с?

Решение. Распределение молекул по скоростям можно определить из закона Максвелла

,

где u=v/v в – относительная скорость;

v – данная скорость;

v в =(2RT/m) 1/2 – наиболее вероятная скорость молекул;

Du – интервал относительных скоростей, малый по сравнению со скоростью u.

Тогда искомая часть молекул, которую необходимо определить (распределение молекул по скоростям)

В нашем случае v=100 м/с; v=10 м/с; Наиболее вероятная скорость v=(2RT/pm) 1/2 =376 м/с. Следовательно, u=v/v в =100/376, u 2 =0,071; Du=10/376; exp(-u 2)=0,93.

Таким образом, число молекул кислорода, скорости которых лежат в указанном интервале, равно 4%общего числа молекул.

1.3.6. Сосуд, содержащий газ, движется со скоростью v o , затем быстро останавливается. На сколько увеличится при этом средний квадрат скорости теплового движения молекул газа в случаях: одноатомного газа? Двухатомного газа? Газ считать идеальным.

Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть M-масса газа в сосуде. Двигаясь со скоростью v газ, как целое, обладает кинетической энергией

W к =Mv o 2 /2.

Эта формула определяет кинетическую энергию направленного движения молекул, в котором ониучаствуют вместе с сосудом. После остановки сосуда направленное движение молекул в результате их соударений со стенками сосуда очень скоропревратится в хаотическое.

Пренебрегая теплообменом между газом и стенкамисосуда за рассматриваемый промежуток времени, можно газ считать изолированной системой. Тогда из закона сохранения энергии следует, что "исчезнувшая" кинетическая энергия направленного движения молекул W должна быть равна приросту энергии хаотического движения молекул (приросту внутренней энергии DU:

Определим внутреннюю энергию газа. Для идеального одноатомного газа это есть энергия поступательного хаотического движения молекул:

где m – масса молекулы;

N – число молекул в сосуде.

Отсюда следует, что изменение внутренней энергии одноатомного газа при торможении

DU=U 2 –U 1 =M/2,

где v кв1 ,v кв2 – средние квадратичные скорости молекул газа соответственно в начале и конце торможения.

Подставив в уравнение W к =DU значения W к и DU, получим первый ответ

v 2 кв2 -v 2 кв1 =v 2 o .

Внутренняя энергия идеального двухатомного газа складывается из энергий поступательного и вращательного движения молекул. При этом три степени свободы приходятся на поступательное движение и две - на вращательное. В соответствии сзакономо равномерном распределении энергии по степенямсвободы, три пятых кинетической энергии W пойдет на увеличениеэнергии поступательного движения молекул и две пятых - на увеличение энергии их вращательного движения. Таким образом, теперь имеем

Откуда получим второй ответ:

1.3.7. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре T, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не свыше чем на 5,0 м/с? Задачу решить для двух значений T: 1) 400 К, 2) 900 К.

Решение. Распределение молекул по скоростям выражается законом Максвелла: число молекул DN, относительные скорости которых лежат в интервале от u до u+Du:

где N-полное число молекул газа;

– функция распределения Максвелла;

u=v/v в – относительная скорость;

v – данная скорость;

v в – наиболее вероятная скорость.

Закон распределения Максвелла оказывается справедливым при условии Du

.

Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых лежат в интервале Du:

Прежде чем производить расчеты, необходимо убедиться в том, что выполняется условие Du

Чтобы вычислить Du, найдем сначала наиболее вероятную скорость при Т=400 К и Т=900 К по формуле:

v в1 =2×8,31×400/0,002=1,82×10 3 м/с,

v в2 =2×8,31×900/0,002=2,73×10 3 м/с.

Подставляя эти значения v в и имея в виду, что Dv=10 м/с, поскольку в задаче идетречь о скоростях, лежащих в интервале от v в =-5,0 м/с до v в =+5,0 м/с, получим:

Du 1 =1/182, Du 2 =1/273.

Так как u=1, видим, что условие Du

Теперь найдем

DN 1 /N=4/((3,14) 1/2 ×2,7×182)=0,0046,

DN 2 /N=4/((3,14) 1/2 ×2,7×273)=0,0030.

Таким образом, приувеличении температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличивается,а числомолекул, скорости которых лежат в одном и том же интервале около наиболее вероятной, уменьшается.

1 моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде массой 0,012 кг.

Моли любых газов при одинаковых температурах и давлении занимают одинаковые объемы - закон Авогадро . При нормальных условиях (р =1,013·10 5 Па, Т =273, 15 К) этот объем равен 22,41·10 -3 м 3 /моль.

Число молекул (структурных единиц) в 1 моле равно числу Авогадро: N A =6,02·10 23 моль -1 .

уравнение Менделеева - Клапейрона:

Или (3.11)

где М - молярная масса газа, - количество вещества, R

Если N - общее число молекул газа, dN - число молекул, скорости которых заключены в интервале от до +d , то закон распределения Максвелла запишется в виде:

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью :

. (3.14)

Если выразить скорости молекул не в обычных единицах, а в относительных, приняв за единицу скорости наиболее вероятную скорость молекул, то распределение Максвелла принимает вид:

Зависимость давления атмосферы от высоты над уровнем моря при постоянной температуре называют барометрической формулой:

где n и n 0 – концентрация молекул на высоте h и h 0 =0.

Под внутренней энергией U в термодинамике понимают энергию теплового движения частиц, образующих систему, и потенциальную энергию их взаимного положения:

2) теплота, сообщенная системе в процессе изменения ее состояния, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение работы против внешних сил:

где dU – малое изменение внутренней энергии; δ Q – элементарное количество теплоты; δ А – элементарная работа.

Работа расширения, совершаемая при конечных изменениях объема :

(3.23)

Теплоемкостью системы тел (тела) называется физическая величина, равная отношению количества теплоты dQ , которое нужно затратить для нагревания системы тел (тела), к изменению температуры dТ, характеризующей это нагревание:

. [C]=Дж/К. (3.24)

Удельной теплоемкостью вещества с называется скалярная величина, равная отношению теплоемкости однородного тела С к его массе:

. [c ]= Дж/(кг.К) (3.25)

Молярной теплоемкостью называется физическая величина, численно равная отношению теплоемкости системы С к количеству вещества n, содержащегося в ней:

. =Дж/(моль.К) (3.26)

Различают молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении :

, .

(3.27)

Уравнение, связывающее молярные теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме имеет вид (уравнение Майера ):

C p – C V = R . (3.28)

Первое начало термодинамики при изохорическом процессе (V =const; dV=0 , dA=pdV= 0): – теплота, сообщаемая системе при изохорическом процессе, идет на изменение внутренней энергии.

, (3.29)

При этом работа не совершается.

Первое начало термодинамики при изобарическом процессе (p=const):

. (3.30)

Работа изобарного расширения равна

. (3.31)

Первое начало термодинамики при изотермическом процессе (Т =const; dT= 0; ): – теплота, сообщаемая системе при изотермическом процессе, идет на работу против внешних сил:

(3.32)

Адиабатным называется процесс, протекающий без теплообмена с внешней средой: dQ=0.

Из первого закона термодинамики:

то естьработа при адиабатическом процессе совершается за счет убыли внутренней энергии.

Уравнения Пуассона (уравнения состояния для адиабатического процесса):

Величина g - показатель адиабаты - определяется числом и характером степеней свободы молекулы (табл.4 приложения):

. (3.34)

При сопоставлении адиабатного и изотермического процессов (рис. 3.4) видно, что адиабата проходит более круто, чем изотерма.

Политропным называется термодинамический процесс, в котором теплоемкость тела постоянна: С =const.

Уравнения политропного процесса в идеальном газе :

pV n = const, ТV n-1 = const, (3.35)

где – показатель политропы, зависящий от удельной теплоемкости газа.

Существует несколько формулировок второго начала термодинамики :

1. Формулировка Клаузиуса : Невозможен процесс, единственным конечным результатом которого является передача энергии в форме теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.

2. Формулировка Томсона (Кельвина): Невозможен процесс, единственным конечным результатом которого является превращение всей теплоты, полученной от некоторого тела, в эквивалентную ей работу.

Круговой процесс – это совокупность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние. На диаграммах состояния круговые процессы изображаются замкнутыми линиями.

Прямым циклом называется круговой процесс, в котором система совершает положительную работу . Примером прямого цикла является цикл, совершаемый рабочим телом в тепловом двигателе.

Обратным циклом называется круговой процесс, в котором система совершает отрицательную работу (например, цикл рабочего тела в холодильной установке).

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины - это отношение совершаемой за цикл работы А к количеству теплоты, полученному рабочим телом от нагревателя Q 1 :

, (3.36)

где Q 1 – количество теплоты, полученное рабочим веществом, Q 2 – количество теплоты, отданное рабочим веществом холодильнику.

Циклом Карно называется круговой процесс, при котором выполненная системой работа максимальна. Прямой цикл Карно состоит из четырех последовательных обратимых процессов: изотермического расширения (1®2) при температуре Т 1 , адиабатического расширения и сжатий (2®3, изотермического сжатия (3®4) при температуре Т 2 и адиабатического сжатия (4®1) (рис.3.5.).

Машина, совершающая цикл Карно, называется идеальной тепловой машиной.

Термический коэффициент полезного действия прямого цикла Карно, совершаемого идеальным газом:

. (3.37)

где Т 1 и T 2 – значения температуры нагревателя и холодильника, участвующих в осуществлении рассматриваемого цикла.

Функция состояния S, дифференциал которой

называетсяэнтропией. Здесь dQ –бесконечно малое количество теплоты, сообщенное системе в элементарном обратимом процессе.

Изменение энтропии в любом обратимом процессе, переводящем систему из состояния 1 в состояние 2, равно приведенному количеству теплоты, переданному системе в этом процессе

, (3.39)

где S 1 и S 2 – значения энтропии в состояниях 1 и 2, DS – изменение энтропии в течение обратимого процесса.

Термодинамическая вероятность системы W- это число всевозможных распределений частиц по координатам и скоростям, соответствующих данному термодинамическому состоянию.

Термодинамическая вероятность и энтропия связаны соотношением (формула Больцмана ):

При нарушении равновесия система стремится вернуться в равновесное состояние. Этот процесс сопровождается возрастанием энтропии и, следовательно, необратим. Нарушение равновесия сопровождается переносом массы (диффузия), импульса (внутреннее трение) или энергии (теплопроводность). Эти процессы называются явлениями переноса . Следовательно, явления переноса представляют собой необратимые процессы.

Средней длиной свободного пробега молекул `l называется среднее расстояние, которое молекула проходит без столкновений:

(3.41)

Число столкновений, испытываемых молекулой в единицу времени, может быть различным. Поэтому следует говорить о среднем значении этой величины:

, (3.42)

где n – концентрация молекул.

Средняя длина свободного пробега и среднее число столкновений в единицу времени связаны между собой уравнением:

где – средняя арифметическая скорость.

Коэффициент диффузии – это масса, переносимая в единицу времени через единичную площадку в направлении нормали к этой площадке в сторону убывания плотности компонента при градиенте плотности, равном единице

. (3.44)

коэффициентом внутреннего трения (коэффициентом вязкости) численно равен импульсу, переносимому в единицу времени через единичную площадку при единичном градиенте скорости:

. (3.45)

Коэффициент теплопроводности , численно равный количеству теплоты, переносимому в единицу времени через единичную площадку при единичном градиенте температуры:

([К ]=Вт/м.К) , (3.46)

где ρ – плотность газов.

Примеры решения задач

Задача 3.1. Определить молярную массу смеси кислорода массой m 1 = 25 г и азота массой m 2 = 75 г.

Количество вещества смеси равно сумме количества компонентов:

. (3)

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (3) и преобразовав, получим:

.

Молярные массы кислорода М 1 и азота М 2 определяем из таблицы Менделеева:

М 1 =32·10 -3 кг/моль и М 2 =28·10 -3 кг/моль

Вычисления:

Задача 3.2. Два баллона соединены трубкой с закрытым клапаном, объемом которой можно пренебречь. В баллоне объемом 0,02 м 3 находится газ под давлением 1,6×10 4 Па, а в баллоне объемом 0,06 м 3 - тот же газ под давлением 1,2×10 4 Па. Какое давление установится в баллонах, если открыть кран? Температура газа остается постоянной.

где р 1 " - давление газа первого сосуда, р 2 " - давление газа второго сосуда.

По условию задачи температура газа остается неизменной, следовательно, согласно закону Бойля-Мариотта для двух состояний газа можно записать:

, (2)

Решая полученную систему уравнений

Проверить единицы физических величин слева и справа от знака равенства

Вычисления :

1,3×10 4 Па.

Ответ: р = 1,3×10 4 Па.

Задача 3.3. Баллон содержит m 1 = 80 г кислорода и m 2 =320 г аргона. Давление смеси р =1 МПа, температура Т =300 К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем V баллона.

По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

р = р 1 + р 2 (2)

Подставив уравнение (1) в уравнение (2), получим:

.

из последнего выражения найдем объем баллона:

,

где М 1 =32·10 -3 кг/моль – молярная масса кислорода, М 2 =40·10 -3 кг/моль – молярная масса аргона (из таблицы Менделеева).

Вычисления:

Ответ: V=0,0262 м 3

Задача 3.4. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т=350 К, а также кинетическую энергию Е к вращательного движения всех молекул кислорода массой m =4 г.

Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода – двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода:

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа:

Число всех молекул газа найдем из формулы количества вещества:

, (3)

где N A =6,02·10 23 моль -1 - число Авогадро, ν - количество вещества, М=32·10 -3 кг/моль – молярная масса кислорода.

Подставляя уравнение (3) в формулу (2), получим:

.

Вычисления:

Ответ: ,

Задача 3.5. Некоторое количество гелия расширяется: сначала адиабатно, а затем изобарно. Конечная температура газа равна начальной. При адиабатном расширении газ совершил работу, равную 4,5 кДж. Какова работа газа за весь процесс?

На графике процесс 1-2 является адиабатным, т.е Q = 0; процесс 2 – 3 - изобарный (р = const). Так как начальные и конечные температуры равны (по условию задачи), то процесс 3 – 1 будет изотермическим (Т=const).

полная работа равна сумме работ на каждом из участков:

А 123 = А 12 + А 23 (1)

По первому закону термодинамики для адиабатного процесса, учитывая, что газ одноатомный работа А 12 газа на участке 1-2, равна изменению внутренней энергии , взятой со знаком «минус»:

где М = 4·10 -3 кг/моль – молярная масса гелия, Т 1 и Т 2 – абсолютные температуры газа в состоянии 1 и 2 соответственно, R =8,31 - универсальная газовая постоянная.

Работа изобарного расширения, учитывая, что Т 3 = Т 1 , равна

Решая совместно полученные уравнения

А 123 = А 12 + А 23

А 123 = А 12.

Вычисления :

А 123 = ·4,5·10 3 =7500 Дж

Ответ: А 123 = 7500 Дж.

Задача 3.6. Коэффициент диффузии D и вязкость η водорода при некоторых условиях равны D = 1,42·10 -4 м 2 /си η = 8,5 мкПа·с. Диаметр молекул водорода σ = 0,3 нм. Найти число n молекул водорода в единице объема.

Средняя длина свободного пробега молекул; ρ – плотность газа.

Количество вещества:

,

где М=2·10 -3 кг/моль – молярная масса водорода; m – масса газа; N A =6,02·10 23 моль -1 - число Авогадро, ν - количество вещества.

Концентрация молекул водорода n определяется числом молекул N в единице объема V :

Решая совместно систему уравнений:

можно получить:

Вычисления:

м -3

Ответ: n = 1,8·10 25 м -3

задача 3.7. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика Т 1 = 500 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т 2 теплоприёмника тепловой машины, если за счёт каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А= 350 Дж.

Зная КПД цикла, можно из формулы для КПД цикла Карно

найти температуру охладителя Т 2:

.

Вычисления :

Ответ: η=35%, Т 2 =325 К

Задача 3.8. Масса 10 г гелия находится при температуре 300 К. При изобарном нагревании его объем увеличился в 3 раза. Определить изменение внутренней энергии, работу газа и количество теплоты, сообщенное газу.

Для определения температуры T 2 воспользуемся законом Гей-Люссака для изобарического процесса

.

Работа газа при его расширении определяется выражением:

А = PDV = P(V 2 - V 1).

Воспользовавшись уравнением Менделеева-Клайперона, найдем разность объемов двух состояний газа (V 2 – V 1):

.

.

Для определения количества теплоты, сообщенной газу, воспользуемся первым законом термодинамики для изобарического процесса:

.

Вычисления:

3.3. Задачи для самостоятельного решения

201. В цилиндр длиной l = 1,6 м, заполненный воздухом при нормальном атмосферном давлении p 0 , начали медленно вдвигать поршень площадью основания S = 200 см 2 . Определить силу F , действующую на поршень, если его остановить на расстоянии l 1 = 10 см от дна цилиндра.

202. В баллоне находится газ при температуре Т 1 = 400 К. До какой температуры T 2 надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза.

203. Баллон вместимостью V = 20 л заполнен азотом при температуре T = 400 К. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на Δp = 200 кПа. Определить массу m израсходованного газа. Процесс считать изотермическим.

204. В баллоне вместимостью V = 15 л находится аргон под давлением p 1 = 600 кПа и при температуре Т 1 = 300 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до p 2 =400 кПа, а температура установилась T 2 = 260 К. Определить массу m аргона, взятого из баллона.

205. Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление p 1 =2 МПа и температура T 1 = 800 К, в другом p 2 = 2,5 МПа, T 2 = 200 К. Сосуды соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры T = 200 К. Определить установившееся в сосудах давление p .

206. Вычислить плотность ρ азота, находящегося в баллоне под давлением p =2 МПа и имеющего температуру T = 400 К.

207. Определить относительную молекулярную массу M r газа, если при температуре Т = 154 К и давлении p = 2,8 МПа он имеет плотность ρ = 6,1 кг/м 3 .

208. Найти плотность ρ азота при температуре T = 400 К и давлении p = 2 МПа.

209. В сосуде объемом V = 40 л находится кислород при температуре Т = 300 К. Когда часть кислорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на Δр = 100 кПа. Определить массу m израсходованного кислорода. Процесс считать изотермическим.

210. Определить плотность ρ водяного пара, находящегося под давлением p = 2,5 кПа и имеющего температуру Т = 250 К.

211. Определить внутреннюю энергию U водорода, а также среднюю кинетическую энергию <ε > молекулы этого газа при температуре T = 300 К, если количество вещества ν этого газа равно 0,5 моль.

212. Определить суммарную кинетическую энергию Е к поступательного движения всех молекул газа, находящегося в сосуде вместимостью V = 3 л под давлением p = 540 кПа.

213. Количество вещества гелия ν = 1,5 моль, температура T = 120 К. Определить суммарную кинетическую энергию Е к поступательного движения всех молекул этого газа.

214. Молярная внутренняя энергия U m некоторого двухатомного газа равна 6,02 кДж/моль. Определить среднюю кинетическую энергию <ε вр > вращательного движения одной молекулы этого газа. Газ считать идеальным.

215. Определить среднюю кинетическую энергию <ε > одной молекулы водяного пара при температуре Т = 500 К.

216. Определить среднюю квадратичную скорость <υ кв > молекулы газа, заключенного в сосуд вместимостью V = 2 л под давлением p = 200 кПа. Масса газа m = 0,3 г.

217. Водород находится при температуре T = 300 К. Найти среднюю кинетическую энергию <ε вр > вращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию E к всех молекул этого газа; количество водорода ν = 0,5 моль.

218. При какой температуре средняя кинетическая энергия <ε п > поступательного движения молекулы газа равна 4,14·10 -21 Дж?

219. В азоте взвешены мельчайшие пылинки, которые движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Масса каждой пылинки равна 6·10 -10 г. Газ находится при температуре T = 400 К. Определить средние квадратичные скорости <υ кв >, а также средние кинетические энергии <ε к > поступательного движения молекулы азота и пылинки.

220. Определить среднюю кинетическую энергию <ε к > поступательного движения и <ε вр > вращательного движения молекулы азота при температуре Т = 1 кК. Определить также полную кинетическую энергию Е к молекулы при тех же условиях.

221. Определить молярную массу М двухатомного газа и его удельные теплоемкости, если известно, что разность c p -c V удельных теплоемкостей этого газа равна 260 Дж/(кг·К).

222. Найти удельные c p и c V , а также молярные C p и C V теплоемкости углекислого газа.

223. Определить показатель адиабаты γ идеального газа, который при температуре T = 350 К и давлении p = 0,4 МПа занимает объем V = 300 л и имеет теплоемкость C V = 857 Дж/К.

224. В сосуде вместимостью V = 6 л находится при нормальных условиях двухатомный газ. Определить теплоемкость C V

225. Определить относительную молекулярную массу M r и молярную массу газа M , если разность его удельных теплоемкостей c p -c V = 2,08 кДж/(кг·К).

226. Определить молярные теплоемкости газа, если его удельные теплоемкости c V = 10,4 кДж/(кг·К) и c p = 14,6 кДж/(кг·К).

227. Найти удельные c V и c p и молярные C V и C p теплоемкости азота и гелия.

228. Вычислить удельные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса M =4·10 -3 кг/моль и отношение теплоемкостей C p /C V = 1,67.

229. Трехатомный газ под давлением p =240 кПа и температуре t = 20° C занимает объем V = 10 л. Определить теплоемкость C p этого газа при постоянном давлении.

230. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объем V = 5 л. Вычислить теплоемкость C V этого газа при постоянном объеме.

231. Найти среднее число <z > столкновений за время t =1 с и длину свободного пробега <l > мо

Средняя квадратичная скорость молекул - среднее квадратическое значение модулей скоростей всех молекул рассматриваемого количества газа

Таблица значений средней квадратичной скорости молекул некоторых газов

Для того чтоб понять, откуда же у нас получается эта формула, мы выведем среднюю квадратичную скорость молекул. Вывод формулы начинается с основного уравнения молекулярно кинетический теории (МКТ):

Где у нас количество вещества, для более легкого доказательства, возьмем на рассмотрение 1 моль вещества, тогда у нас получается:

Если посмотреть, то PV это две третьих средней кинетической энергии всех молекул (а у нас взят 1 моль молекул):

Тогда, если приравнять правые части, у нас получается, что для 1 моля газа средняя кинетическая энергия будет равняться:

Но средняя кинетическая энергия, так же находится, как:

А вот теперь, если мы приравняем правые части и выразим из них скорость и возьмем квадрат,Число Авогадро на массу молекулы, получается Молярная масса то у нас и получится формула для средней квадратичной скорости молекулы газа:

А если расписать универсальную газовую постоянную, как , и за одно молярную массу , то у нас получится?

В Формуле мы использовали:

Средняя квадратичная скорость молекул

Постоянная Больцмана